| В физическом и компьютерном эксперименте мы можем задать начальные условия только приближенно. Но для любой конечной точности данных хаотическая динамика предсказуема только до конечного числа итераций! Для такого "турбулентного" процесса статистическое описание кажется более подходящим, чем знание точных орбит. Для этого следует следить за эволюцией (плотности) распределений точек. После каждой итерации отображения пилы расстояние между близлежащими точками удваивается, поэтому гладкое распределение также расплывается в два раза. Т.к. все точки лежат в ограниченном интервале [0,1], то в пределе n ? ? мы получим однородное распределение точек ?(x)=1. Отображение не меняет этого распределения и оно называется стационарным или инвариантным распределением (заметим, что точки неустойчивых переодических орбит образуют сингулярные инвариантные распределения). Эргодичность Выберем случайную орбиту xo = 0.a1a2a3... тогда для любого числа s = 0.b1b2b3...bk мы всегда можем найти где то в xo совпадающую подпоследовательность, т.е. xn пройдет близко к s (и вероятность этого прохождения не зависит от s). Поэтому случайная орбита пройдет сколь угодно близко к любой точке интервала [0,1] и покроет его равномерно в соответствии с однородной инвариантной плотностью |
| Расчет траекторий. Влияние термостата и эргодичность траекторий. Задав начальную структуру молекулы и набор межатомных потенциалов, мы можем приступать к численной процедуре решения системы уравнений движения и вычисления траектории [6]. Система примерно из 1000 атомов вполне доступна для такого типа расчетов даже на современном персональном компьютере. |
| Теорема о неэргодичности фондового рынка (иногда неудачно называется «Теорема Гафурова») — в теории финансового прогнозирования теорема о принципиальной невозможности точного прогнозирования на основании накопленного опыта сроков, времени и масштабов кризисов рынка ценных бумаг. Основана на вероятностной трактовке природы цен на акции. В английском языке существует термин «гипотеза эргодичности». Теорема о неэргодичности фондового рынка показывает, что в условиях кризиса на фондовом рынке гипотеза об эргодичности оказывается неверной. Является одним из результатов Алгебры фондового анализа. |
| Длина траектории и эргодичность. Длина траектории в молекулярной динамике равняется шагу интегрирования, умноженному на число произведённых шагов. Выбор длины траектории в значительной степени связан с понятием эргодичности траектории. В молекулярной динамике мы обычно имеем дело со средними величинами вдоль траектории (или со средними по времени). В эксперименте обычно имеют дело с величинами средними по ансамблю. Для того чтобы сравнение статистических характеристик системы с результатами молекулярно-динамических расчётов было корректным, необходимо, чтобы траектория обладала достаточно хорошими эргодическими свойствами [12]. Реально это означает, что за время интегрирования система должна много раз побывать во всех значимых областях конфигурационного пространства. |
| Предложение 1. Эргодичность меры µ эквивалентна ?-слабой cходимо- сти к ней n-мер всех точек множества полной µ-меры. |
| если задействован наблюдатель, а это неизбежно придется делать, то проблема сплошного или всюду плотного зачерчивания фазового объема траекторией заменяется принципиально более легкой и явно выполнимой задачей. Реальный наблюдатель никогда не наблюдает и не требует результата не только с абсолютной точностью (эргодичность), но даже и со сколь угодно малой (квазиэргодичность). Например, проверяя экспериментально распределение частиц по координатам в объеме, мы реально никогда не используем бесконечно малых элементов объема, а часто даже и просто малых. |
| Эргодичность — специальное свойство некоторых изменяющихся (динамических) систем, состоящее в том, что в процессе эволюции эргодичной системы почти каждая точка её с определённой правильностью проходит вблизи любой другой точки системы. Тогда при расчетах труднорассчитываемое время можно заменить фазовыми (пространственными) показателями. Система, в которой фазовые средние совпадают с временными, называется эргодической. |
