| Пусть имеется квадратная матрица R размерностью n? n, каждый элемент которой на пересечении i-й строки и j-го столбца, содержит достаточно произвольные сведения о попарном сходстве анализируемых объектов i и j. На выходе алгоритма многомерного шкалирования получаются числовые значения координат, которые приписываются каждому объекту в некоторой новой системе координат (во "вспомогательных шкалах", связанных с латентными переменными). Многомерное шкалирование (МШ) можно рассматривать как альтернативу факторному анализу, когда, кроме корреляционных матриц, в качестве исходных данных можно использовать произвольный тип матрицы сходства объектов. МШ – это не сколько определенная математическая процедура, а скорее способ наиболее эффективного размещения объектов, приближенно сохраняющий расстояния между ними в новом пространстве признаков, размерность которого существенно меньше исходного. |
| Многомерное шкалирование - это метод, полезный для анализа значений близости, чаще всего нижней или верхней полуматрицы близости. Очень часто под близостью понимаются сходство или различие между разными объектами, хотя используется очень много показателей близости. Каждый объект представляется точкой xi на плоскости или в пространстве. В простейшем случае многомерного шкалирования каждое значение близости dij есть расстояние между точками xi и xi,dij = d (xi, xj) + ошибка. Таким образом, многомерное шкалирование - это процедура описания матрицы близости в терминах расстояний между точками. В общем случае не требуется, чтобы точки располагались на плоскости или в трехмерном пространстве. Можно использовать любое евклидово пространство малой размерности. |
| Многомерное шкалирование в психологии. Введение Многомерное шкалирование начало свое интенсивное развитие в 60-х годах в работах американских ученых Торгерсона (Torgerson) [9], Шепарда (Shepard) [8], Краскэла (Kruskal) [6]. Круг советских специалистов, занимающихся этой проблемой, достаточно узок, и основные их усилия направлены на разработку формализованных методов и вычислительных процедур, реализующих известные модели на ЭВМ. К настоящему времени методы многомерного шкалирования, к сожалению, не получили широкого применения в психометрических исследованиях в нашей стране. Видимо, причинами тому являются малочисленность группы специалистов и отсутствие хороших пакетов программ. |
| Многомерное шкалирование (МНШ) можно рассматривать как альтернативу факторному анализу (см. Факторный анализ). Целью последнего, вообще говоря, является поиск и интерпретация "латентных (т.е. непосредственно не наблюдаемых) переменных", дающих возможность пользователю объяснить сходства между объектами, заданными точками в исходном пространстве признаков. Для определенности и краткости, далее, как правило, будем говорить лишь о сходствах объектов, имея ввиду, что на практике это могут быть различия, расстояния или степени связи между ними. В факторном анализе сходства между объектами (например, переменными) выражаются с помощью матрицы (таблицы) коэффициентов корреляций. В методе МНШ дополнительно к корреляционным матрицам, в качестве исходных данных можно использовать произвольный тип матрицы сходства объектов. Таким образом, на входе всех алгоритмов МНШ используется матрица, элемент которой на пересечении ее i-й строки и j-го столбца, содержит сведения о попарном сходстве анализируемых объектов (объекта [i] и объекта [j]). На выходе алгоритма МНШ получаются числовые значения координат, которые приписываются каждому объекту в некоторой новой системе координат (во "вспомогательных шкалах", связанных с латентными переменными, откуда и название МНШ), причем размерность нового пространства признаков существенно меньше размерности исходного (за это собственно и идет борьба). |
